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Matemática Financeira


A matemática financeira é a parte da matemática em que se aplica a análise de dados financeiros, como comparativos e relacionamentos. A matemática financeira tem sua origem na análise de juros e se estende até questões mais complicadas como os cálculos atuariais.

Conceitos fundamentais

Os conceitos básicos da matemática financeira são: finanças e economia, que relacionam as variáveis fundamentais da matemática financeira.

Capital

Refere-se ao montante financeiro empregado em algum investimento ou tomado em algum financiamento. Também pode ser chamado simplesmente de montante.

Tudo gira em torno do capital, que é remunerado de acordo com a troca que ocorre entre credor e devedor.

Todas as operações financeiras envolvem algum capital, e no fim, toda operação de matemática financeira busca analisar o impacto das relações entre as partes e o tempo sobre o capital.

Capitalização

A capitalização é a forma de “rentabilização” do capital. A forma de capitalização pode ser habitualmente do tipo simples ou composta. O próximo tópico explica em detalhes as diferenças entre as duas formas de capitalização.

A capitalização por si só conecta o valor presente ao valor futuro através de uma relação matemática, relação que segue a proporção dos juros em função do tempo.

Juro

É a remuneração do capital em função do tempo. O juro é aplicado (multiplicado) pelo capital empregado na capitalização.

Para o devedor, os juros dão o valor do custo do dinheiro em função do tempo do empréstimo, é o ônus financeiro de tomar este recurso emprestado. Sob a ótica do credor, os juros são o rendimento da aplicação, do financiamento cedido, são a taxa de capitalização.

O juro é a taxa que relaciona o valor presente com o valor futuro.

Valor presente

Um capital que está disponível para aplicação ou resgate no dia de hoje, recebe o nome de valor presente.

O valor presente também se refere a tudo aquilo que não possui risco de fator tempo, uma vez que conceitualmente falando, o risco dentro de um mesmo dia é zero. Isso significa dizer também que, ao menos em tese, não se pode emprestar dinheiro para pagamento no mesmo dia e inclusive, se cobrar juros por isso.

O valor presente é intimamente ligado ao valor futuro através da capitalização.

Valor futuro

Um capital que será recebido ou pago no futuro recebe o nome de valor futuro. Por ser um valor a receber, não pode ser utilizado hoje.

Por estar no futuro, o valor futuro corre o risco de fator tempo, de forma proporcional ao tipo de capitalização utilizado no fluxo do investimento ou financiamento.

O valor futuro é intimamente ligado ao valor presente através da capitalização.

Tempo

O tempo refere-se ao prazo de aplicação. É fator determinante para capitalização, uma vez que é a medida que diz a proporção de juros de rendimento que uma capitalização vai pagar ao investidor, ou que o devedor vai ter de pagar ao credor.

Taxa nominal, efetiva e real

Recebe o nome de taxa nominal o valor absoluto de uma taxa de juros, valor que acaba ficando sujeito aos efeitos da inflação. Isso significa dizer que a taxa nominal não desconta a inflação do seu rendimento.

Exemplo 1: uma aplicação que rende 10% ao ano, durante um ano faz um capital de 100 reais se rentabilizarem 10 reais de ganho de juros. Este é um ganho nominal pois não se considera o efeito da inflação.

Exemplo 2: uma aplicação que rende 15% ao ano, durante um ano faz um capital de 1000 reais se rentabilizarem 150 reais de ganho de juros. Este é um ganho nominal pois não se considera o efeito da inflação.

Quando se retira o valor da inflação da taxa nominal, obtém-se a taxa real, que é a taxa de juros líquida do efeito de inflação.

Exemplo 3: uma aplicação que rende 10% ao ano numa economia onde a inflação é de 4% ao ano tem um juro real de 6% ao ano. Este ganho é liquido da inflação, ou seja, considera a taxa de depreciação da moeda.

Exemplo 4: uma aplicação de 1000 reais que rende 15% ao ano numa economia onde a inflação é de 6% ao ano dá um ganho real ao investidor de 90 reais, sendo que os outros 60 reais ganhos apenas compensaram o efeito da inflação.

A taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização está de acordo com o prazo de formação de juros.

Exemplo 5: uma taxa de 2% ao mês que capitaliza todo mês.

Exemplo 6: uma taxa de 20% ao ano que capitaliza todo ano.

Quando uma taxa apresenta período de formação de juros diferente do período de capitalização, há a necessidade de conversão de taxas, e, dependendo do tipo de capitalização tem-se taxas equivalentes ou proporcionais.

Taxas equivalentes e proporcionais

Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização composta são taxas equivalentes.

Exemplo 7: ao regime de juros compostos, uma taxa de 10% ao mês e uma taxa de 21% ao bimestre são equivalentes, pois na capitalização composta capitalizam à mesma proporção.

Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização simples são taxas proporcionais.

Exemplo 8: ao regime de juros simples, uma taxa de 10% ao mês e uma taxa de 20% ao bimestre são proporcionais, pois na capitalização simples capitalizam à mesma proporção.

Fluxo de caixa

O fluxo de caixa é a representação gráfica para uma série de pagamentos e recebimentos em função do tempo. Um fluxo de caixa é representado como sendo uma linha de tempo na horizontal onde setas na vertical indicam entradas e saídas financeiras em relação ao caixa.

A ilustração de um fluxo de caixa é particularmente útil para facilitar a visualização de uma série de entradas e saídas de caixa ao longo do tempo. Um fluxo de caixa ajuda na análise de longos períodos de tempo, principalmente quando a série de fluxos é inconstante, com várias entradas e saídas em diversos valores.

A imagem abaixo ilustra um fluxo de caixa simples, onde no valor presente (onde o tempo corrido é igual a zero) tem-se uma aplicação e no valor futuro (onde o tempo corrido é igual a n) tem-se um resgate, uma saída de caixa da aplicação, que poderia ser um pagamento de juros ou simplesmente o resgate da aplicação.

Exemplo Fluxo de Caixa

Exemplo 9: a imagem abaixo ilustra um exemplo prático de utilização da representação de uma série de pagamentos através de um fluxo de caixa:

Segundo Exemplo Fluxo de Caixa

O fluxo de caixa ilustra uma aplicação de 100,00 que ao longo de três anos pagou 10,00 anualmente e ao final do fluxo devolveu o valor investido, ou seja, os 100,00. Pode-se dizer que este fluxo de caixa rende 10% ao ano por três anos. Por outro lado, também é certo dizer que o fluxo de caixa rendeu 30% em três anos, ou no período.

Formas de capitalização

São duas as formas de capitalização: simples e composta. As formas de capitalização mudam de acordo com a métrica matemática de aplicação dos juros sobre o capital.

Capitalização simples

Na capitalização simples os juros cobrados por período incidem somente sobre o capital. Isso significa dizer que os juros são cobrados sobre o valor do capital empenhado, de maneira proporcional ao tempo.

Exemplo 10: um empréstimo a 15% capitalizado no esquema de capitalização simples rende em três anos, 45% de juros sobre o capital emprestado.

A capitalização simples relaciona o valor futuro ao valor presente através da fórmula abaixo:

Capitalização Simples

Onde:

VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente
i = taxa de juros
n = período da aplicação

Exemplo 11: um investimento de 1000,00 aplicado por três meses capitalizado de maneira simples a juros de 5% ao mês retorna um valor futuro de 1150,00, pois, substituindo na fórmula:

Exemplo de Capitalização Simples

Através da inversão da fórmula é possível desenvolver outros tipos de problemas, buscando encontrar por exemplo o valor presente de um valor futuro:

Capitalização Simples: Valor Futuro

Este tipo de abordagem pode ser particularmente útil quando se deseja avaliar o valor de um investimento a ser feito tendo por base apenas seu fluxo futuro e o retorno em função do risco corrido.

Capitalização composta

Na capitalização composta os juros são cobrados sobre o capital e sobre os juros incorporados a cada período de tempo corrido. Na capitalização composta os juros são cobrados sobre o capital e sobre os juros anteriores.

Exemplo 11: um empréstimo a 10% capitalizado no esquema de capitalização composta rende em dois anos, 21% de juros sobre o capital emprestado.

A capitalização composta relaciona o valor futuro ao valor presente através da fórmula abaixo:

Capitalização Composta

Onde:

VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente
i = taxa de juros
n = período da aplicação

Exemplo 11: um investimento de 2000,00 aplicado por três meses capitalizado de maneira composta a juros de 5% ao mês retorna um valor futuro de 2315,25, pois, substituindo na fórmula:

Exemplo de Capitalização Composta

Através da inversão da fórmula é possível desenvolver outros tipos de problemas, buscando encontrar por exemplo o valor presente de um valor futuro:

Capitalização Composta: Valor Futuro

Este tipo de abordagem pode ser particularmente útil quando se deseja avaliar o valor de um investimento a ser feito tendo por base apenas seu fluxo futuro e o retorno em função do risco corrido.

Comparativo entre as formas de capitalização

Pela diferença entre as fórmulas matemáticas, o comportamento dos retornos obtidos com cada tipo de capitalização é diferente: a capitalização simples tem comportamento proporcional enquanto a capitalização composta tem comportamento exponencial.

O gráfico abaixo ilustra o comparativo entre as duas formas de capitalização em função do tempo:

Comparativo entre as Formas de Capitalização
Segundo Comparativo entre as Formas de Capitalização

Para a construção do gráfico foi utilizado um capital inicial de 100,00 aplicado a uma taxa de 300% ao período, por 1,5 períodos. Para comparar as taxas, o intervalo adotado para cada ponto do gráfico é de 0,1 períodos.

Pode-se notar que, capitalizar em períodos menores que o da taxa de juros é mais rentável nos juros simples. Capitalizar em períodos maiores que o da taxa de juros é mais rentável nos juros compostos.

Isso quer dizer que, aplicar em algo que rende 10% ao ano por 6 meses é mais rentável em regime de capitalização simples. Aplicar em algo que rende 10% ao ano por 2 anos é mais rentável em regime de capitalização composta.

Na prática do mercado brasileiro, a capitalização mais utilizada é a composta, e para evitar a diferença de rentabilidade, as taxas são sempre utilizadas no esquema de capitalização diária. Isso significa que, ao se deparar com uma taxa ao mês, por exemplo, o esquema de capitalização composto utilizado capitaliza diariamente de forma a atingir o equivalente ao percentual mensal indicado.

No próximo tópico será apresentado como é feita esta conversão.

Equivalência de taxas

O cálculo de equivalência de taxas é um modelo matemático importante para o investidor que manipula taxas de diferentes períodos. Calcular a equivalência das taxas dá perfeita noção ao investidor sobre qual o nível de rentabilidade é o mais adequado, mesmo quando compara taxas em diferentes períodos de capitalização.

Na capitalização simples, a equivalência de taxas é dada por:

Equivalência de Taxas

Onde:

iM = taxa de juros do período maior
im = taxa de juros do período menor
p = razão entre período maior e menor

Em juros simples, utiliza-se o termo “taxa proporcional” ao invés de taxa equivalente, mais utilizado para expressar a relação de taxas para regimes de capitalização compostas.

Exemplo 12: a taxa proporcional ao semestre de juros simples que pagam 30% em três anos é de 5% ao semestre, pois:

Equivalência de Taxas Simples

Para capitalização composta, a equivalência de taxas é dada por:

Equivalência de Taxas Composta

Onde:

iM = taxa de juros do período maior
im = taxa de juros do período menor
p = razão entre período maior e menor

Exemplo 13: a taxa equivalente ao mês de juros que pagam 23% ao ano é de 1,74% ao mês, pois:

Taxa Equivalente  ao Mês

Exemplo 14: o que é mais rentável para o investidor: uma aplicação que rende 1,5% ao mês ou uma aplicação que rende 15% ao ano? Como na pergunta acima não é citado o tipo de capitalização, utiliza-se o padrão de mercado, capitalização composta. A comparação pode ser feita trazendo o juro mensal para a base anual, ou trazendo o juro anual para a base mensal e assim comparando as duas taxas:

  • Trazendo a taxa anual para taxa mensal:
Taxa Anual para Taxa Mensal

Como a taxa anual de 15% representa um retorno mensal de 1,17%, é melhor aplicar no investimento que rende 1,5% ao mês do que no investimento que rende 15% ao ano.

  • Trazendo a taxa mensal para taxa anual:
Taxa Mensal para Taxa Anual

Como a taxa mensal de 1,5% representa um retorno anual de 19,5618%, é melhor aplicar no investimento que rende 1,5% ao mês do que no investimento que rende 15% ao ano.

A aplicação de equivalência é muito comum, inclusive, para trazer taxas ao ano para taxas diárias. Como no esquema de capitalização brasileiro não existe cobrança de juros em dias não-úteis, a base de conversão para p é de 252 para trazer uma taxa diária para taxa anual e de 22 para trazer uma taxa diária para uma taxa mensal, e vice-versa.

Exemplo 15: qual a rentabilidade diária de uma aplicação que rende 50% ao ano? Sabendo que o ano possui 252 dias úteis, a conversão se dará pela fórmula abaixo:

Rentabilidade Diária de uma Aplicação

Isso significa dizer que, na capitalização composta, uma aplicação que rende 50% ao ano, rende 0,1610% ao dia.

Sistemas de amortização

Amortização é o processo de pagamento de uma dívida através de uma seqüência de fluxos. Existem diversos tipos de amortização de dívidas, criados cada um com suas características, de modo a atender necessidades de todos os tipos de credores e devedores.

Os principais sistemas de amortização são:

  • Sistema americano: pagamento de principal e juros ao final do período;
  • Sistema Price: sistema onde o valor da parcela se mantém constante até o final do pagamento;
  • Sistema SAC: sistema onde o valor da amortização se mantém constante até o final do pagamento.

Sistema Price

Também conhecido como sistema francês, o sistema Price é utilizada para amortizar uma dívida com parcelas constantes. A fórmula geral da parcela no sistema Price é dada pela fórmula:

Fórmula do Sistema Price

Onde:

PMT = Valor da parcela
VP = Valor presente da dívida
i = taxa de juros
n = número de períodos

A tabela abaixo ilustra o fluxo de pagamento, amortização e valor dos juros cobrados ao longo do tempo através do sistema Price de amortização para uma dívida de cinco mil, pagos em quatro parcelas mensais a juros de 3% ao mês:

A tabela acima evidencia bem a característica fundamental do sistema Price: o valor constante da parcela.

Este sistema de amortização pode ser preferível para o investidor que desejar pagar um valor constante, sem alterações ou flutuações, facilitando assim o planejamento financeiro (mesmo que isso implique num custo de financiamento maior).

Sistema SAC

No sistema SAC, abreviação para sistema de amortização constante, como o nome sugere, o valor das amortizações são constantes, fazendo então com que o valor das prestações flutue de acordo com o valor do juro a ser pago. Na prática, conforme a dívida é amortizada, o valor da parcela diminui, uma vez que restam menos juros para incidir sobre o principal devido.

A fórmula geral da parcela no sistema SAC é dada pela fórmula:

Fórmula Geral do Sistema SAC

PMT = Valor da parcela
VP = Valor presente da dívida
i = taxa de juros
n = número de períodos
k = número do período analisado

A tabela abaixo ilustra o fluxo de pagamento, amortização e valor dos juros cobrados ao longo do tempo através do sistema SAC de amortização para uma dívida de cinco mil, pagos em quatro parcelas mensais a juros de 3% ao mês:

A tabela acima evidencia bem a característica fundamental do sistema SAC: o valor constante da amortização.

Este sistema de amortização pode ser preferível para o investidor que desejar pagar um valor constante de amortização, com alterações ou flutuações na parcela, tornando-se mais suave com o tempo.

Comparativo SAC e Price

Comparando o fluxo de pagamento do sistema SAC e Price, nota-se um valor maior na tabela Price, pois, a prestação paga amortiza principalmente juros ao invés de valor devido nas primeiras parcelas, fazendo com que os juros no geral pesem mais que na SAC. Já como desvantagem do sistema SAC pode-se citar o valor maior da parcela nas primeiras prestações:

SAC e Price são os sistemas de amortização mais utilizados pelo mercado financeiro. Métodos alternativos também podem ser criados a partir destes dois, como o SACRE, sistema de amortização crescente, onde o decréscimo a ser pago no valor de juros é substituído por um maior valor de amortização.

Calculadora HP 12C

A calculadora HP 12C é a calculadora financeira mais utilizada no mercado financeiro. A calculadora HP 12C foi pioneira em trazer diversos cálculos financeiros automatizados e a trabalhar com o conceito de fluxo de caixa.

Diferentemente das calculadoras tradicionais, o cálculo na HP 12C utiliza a metodologia da Notação Polonesa Inversa, um método mais direto de calcular e que trabalha com o conceito de pilhas de memória.

Notação Polonesa Inversa

Na notação polonesa inversa, o operador deve primeiro registrar as variáveis para então aplicar o cálculo entre elas. Enquanto isso, no método algébrico, os operadores matemáticos são utilizados em conjunto com as variáveis.

A tabela abaixo ilustra alguns exemplos de operações feitos em métodos algébricos e em notação polonesa inversa:

Operação Notação algébrica Notação polonesa inversa

Somar dois números

Somar dois Números Notação Algébrica Somar dois Números Notação Polonesa Inversa

Somar dois números e dividir por um terceiro

Somar Dois e Dividir por um | Algébrica Somar Dois e Dividir por um | Polonesa

Diferença entre um produto e uma divisão

Diferença Produto Divisão Algébrico Diferença Produto Divisão Polonesa

Ao utilizar a HP 12C para seus cálculos financeiros, o investidor deve se adaptar à forma de inclusão de dados.

Exemplo 16: somando 5 e 15 na HP 12C:

Passo

Número

Comando 1

Comando 2

Tela

1

5

ENTER

  5,00

2

15

+

  20,00

Resultado = 20

 

Exemplo 16: subtraindo 10 de 15 e dividindo por 2 na HP 12C:

Passo

Número

Comando 1

Comando 2

Tela

1

15

ENTER

  15,00

2

10

-

  5,00

3

2

÷

  2,50

Resultado = 2,5

 

Configurações gerais da HP 12C

A HP 12C possui diversas versões disponíveis no mercado, mas que em essência são iguais, ou seja, todas têm a mesma disposição de botões e metodologia para operar funções financeiras básicas, como capitalização.

Algumas teclas da HP 12C apresentam mais de uma função para sua utilização:

  • O texto de cor branca indica função primária da tecla;
  • Para as teclas com função secundária, o texto é indicado em azul e sua função é acionada pressionando a tecla g;
  • Para as teclas com função terciária, o texto é indicado em laranja acima do botão e sua função é acionada pressionando a tecla f.

A imagem abaixo ilustra uma das teclas da HP 12C com três funcionalidades:

HP 12C

Função principal: PV, valor presente;

Função secundária: CFo, define o primeiro valor de um fluxo de caixa;

Função terciária: NPV, exibe o valor presente líquido de um investimento.

Antes de começar seus cálculos na HP 12C é importante limpar as pilhas de memória da calculadora, para que seus dados não sejam misturados com dados antigos armazenados na memória da calculadora.

Para apagar somente o número atual exibido, aperte a tecla CLx.

Passo

Número

Comando 1

Comando 2

Tela

1

 

f

Σ

0,00

2

 

f

PRGM

0,00

3

 

f

FIN

0,00

4

 

f

REG

0,00

5

 

f

PREFIX

0,00

Resultado = 0,00

 

Com esta seqüência, o investidor limpa todos os registros de memória da calculadora.

Apesar de não possuírem função terciária aparente, as teclas numéricas configuram o número de casas decimais a serem exibidos através da função f.

Passo

Número

Comando 1

Comando 2

Tela

1

 

f

1

0,0

2

 

f

2

0,00

3

 

f

3

0,000

4

 

f

5

0,00000

Resultado = 0,00

 

Desta maneira é possível exibir números com uma precisão de até nove casas decimais.

Operações financeiras

A HP 12C utiliza o esquema de capitalização composto para seus cálculos. Para trabalhar com cálculos financeiros, suas cinco primeiras teclas (canto superior esquerdo) armazenam as variáveis básicas de qualquer fluxo de caixa. São elas:

  • n: armazena o número de períodos aplicados na análise;
  • i: armazena a taxa de juros aplicada;
  • PV: abreviação do inglês, presente value, valor presente;
  • PMT: abreviação do inglês, payment, calcula o valor do pagamento para um empréstimo;
  • FV: abreviação do inglês, future value, valor futuro.

Para encontrar o valor de qualquer uma das variáveis da fórmula de capitalização, basta preencher todas as outras e então clicar na variável desejada.

Exemplo 17: encontrar o valor futuro de um investimento de 500 que rende 2% ao mês por 18 meses, na HP 12C.

Passo

Número

Comando 1

Comando 2

Tela

1

500

PV

  500,00

2

2

i

  2,00

3

18

n

FV

-714,12

Resultado = 714,12

 

Note que o resultado apresentado aparece com valor negativo. Isso ocorre, pois a HP 12C diferencia através de sinais os tipos de fluxo: considerando o valor de investimento como um fluxo positivo, um recebimento assume sinal negativo. Para mudar o sinal do fluxo, pressione a tecla CHS.

Exemplo 18: encontrar a taxa de juros de uma aplicação que em três anos rentabiliza um valor presente de 750 em 1000.

Passo

Número

Comando 1

Comando 2

Tela

1

750

CHS

PV

-750,00

2

1000

FV

  1000,00

3

3

n

i

10,06

Resultado = 10,06%

 

No exemplo anterior, inverteu-se o sinal do fluxo do valor presente para sinalizar uma aplicação em relação ao valor futuro (recebimento). Caso o valor presente e o valor futuro apresentassem o mesmo sinal, a HP 12C apresentaria a mensagem “Error 5”, que significa erro na operação de capitalização.

Matemática financeira no Excel

O software Excel, parte integrante do pacote Office da Microsoft, atualmente é o programa de computador mais utilizado para soluções em matemática financeira. Sua larga utilização se deve à versatilidade e universalidade que o este programa atingiu ao longo do tempo.

O Excel possui, dentro do seu banco de fórmulas, as principais soluções para cálculos financeiros, facilitando assim a vida do investidor que deseja “planilhar” suas aplicações.

Apesar das diferentes versões de Excel no mercado, as funções básicas não mudaram radicalmente com o tempo, inclusive da parte de cálculo financeiro.

Fórmulas do Excel

No Excel, a célula que exibirá o resultado apresenta fórmula para sua obtenção. Para utilizar uma função pré-configurada, a função deve ser digitada antes e seus argumentos definidos entre parênteses.

Os operadores matemáticos utilizados são símbolos que podem ser encontrados facilmente nos teclados:

Operação Símbolo

Somar

+

Subtrair

-

Dividir

/

Multiplicar

*

A tabela abaixo ilustra alguns exemplos de operações feitos em métodos algébricos e pela lógica do Excel:

Operação Notação algébrica Fórmula do Excel

Somar dois números

Somar Dois Números Algébricos Somar Dois Números Polonês

Somar dois números e dividir por um terceiro

Somar Doise dividir por três Algébrica Somar Doise dividir por três Polonês

Diferença entre um produto e uma divisão

Diferença Produto de uma Divisão Algebra Diferença Produto de uma Divisão Polonês

Operações financeiras

O Excel possui uma vasta biblioteca de fórmulas prontas para aplicação de matemática financeira, as quais seguem uma lógica de utilização apenas para inclusão dos argumentos, sendo as principais::

  • Valor presente;
  • Valor futuro;
  • Número de períodos;
  • Taxa de juros;
  • Pagamento;
  • Valor presente líquido;
  • Taxa interna de retorno, e etc.

Para o cálculo do valor presente, o Excel tem a função abaixo:

Cálculo do Valor Presente

Onde:
Taxa: taxa de juros ao período;
Nper: número total de períodos;
Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;
vf: valor de futuro ao final do período, se houver;
Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Para o cálculo do valor futuro, o Excel tem a função abaixo:

Cálculo do Valor Futuro

Onde:
Taxa: taxa de juros ao período;
Nper: número total de períodos;
Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;
vp: valor de presente do começo do período, se houver;
Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Para o cálculo do número de períodos, o Excel tem a função abaixo:

Cálculo do Número de Períodos

Onde:
Taxa: taxa de juros ao período;
Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;
vp: valor de presente do começo do período, se houver;
Vf: valor de futuro ao final do período, se houver;
Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Para o cálculo da taxa de juros, o Excel tem a função abaixo:

Cálculo da Taxa de Juros

Onde:
Nper: número total de períodos;
Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;
vp: valor de presente do começo do período, se houver;
Vf: valor de futuro ao final do período, se houver;
Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período;
Estimativa: sua estimativa para a taxa, preenchida opcionalmente para melhorar a convergência.

O cálculo de TAXA se dá por iteração, daí a possibilidade da estimativa ser preenchida para melhor convergência de dados.

Para o cálculo do pagamento, o Excel tem a função abaixo:

Cálculo de Pagamento

Onde:
Taxa: taxa de juros ao período;
Nper: número total de períodos;
vp: valor de presente do começo do período, se houver;
Vf: valor de futuro ao final do período, se houver;
Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Exemplo 19: calcular o valor futuro de um investimento cujo investimento inicial é de 10000 e com parcelas mensais de 100 por 24 meses, com rendimento de 1% ao mês.

Passo

Célula

Valor

Resultado

1

A1

0,01

 

2

A2

24

 

3

A3

100

 

4

A4

10000

 

5

A5

=VF(A1;A2;A3;A4;0)

(R$ 15.394,69)

Resultado = -15394,69

 

Veja que, assim como para a HP 12C, o valor obtido tem sinal oposto ao do valor das aplicações, indicando a direção oposta ao fluxo de caixa: se as aplicações tem valor positivo, o resgate apresenta valor negativo.

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